Számok, függvények és egyenletek

Vezető: 
Dr. Páles Zsolt, egyetemi tanár
Tagok: 
Dr. Bessenyei Mihály, egyetemi adjunktus
Tagok: 
Dr. Gaál István, egyetemi tanár
Tagok: 
Dr. Gselmann Eszter, egyetemi tanársegéd
Tagok: 
Dr. Maksa Gyula, egyetemi tanár
Tagok: 
Dr. Molnár Lajos, egyetemi tanár
Tagok: 
Dr. Mészáros Fruzsina, egyetemi tanársegéd
Tagok: 
Dr. Pintér Ákos, egyetemi tanár

Számok, függvények és egyenletek
 
A Debreceni Egyetem Matematikai Intézetében két világszerte ismert iskola működik. Az egyik az Aczél János által alapított, majd napjainkig Daróczy Zoltán által irányított Függvényegyenletek iskola, a másik pedig a Győry Kálmán által alapított és vezetett Diofantikus számelmélet iskola. A két iskola tagjai az elmúlt negyven évben közel 1500 rangos nemzetközi folyóiratban megjelent publikációt készítettek és kutatási eredményeiket több monográfiában is összefoglalták. Mindkét iskola szellemi vezetője az MTA rendes tagja és eredményeiket Széchenyi Díjjal is elismerték. Az iskolák tagjai is számos elismerést (többek között 5 Akadémiai Díjat) szereztek. A kutatási eredményeikből 13 MTA doktori értekezés továbbá számos kandidátusi és PhD értekezés készült. Mindkét kutatócsoport szerteágazó nemzetközi kapcsolatrendszerrel rendelkezik. Tagjaik rendszeresen meghívott előadók külföldi egyetemeken, nemzetközi konferenciákon, többen főszerkesztői, vagy tagjai nemzetközi folyóiratok szerkesztőbizottságának is.
A diofantikus egyenletek elméletének három fő problémája a megoldhatóság kérdésének az eldöntése, a megoldásszám meghatározás és az összes megoldás megállapítása. Különösen fontosak az olyan eredmények, amelyek diofantoszi egyenletek egy-egy széles osztályának a megoldásairól adnak információt. A pályázat segítségével ilyen egyenletosztályokkal (binomiális Thue-egyenletek, egységegyenletek, index-forma egyenletek), illetve az ezen osztályokra visszavezethető algebrai számelméleti, illetve kombinatorikus háttérrel rendelkező diofantikus problémákkal foglalkozunk. Effektív és ineffektív végességi állításokat adunk függvénytestek feletti és f(x)=g(y) típusú egyenletek megoldásaira. Továbbá vizsgáljuk a diofantikus egyenletek és az ún. moduláris formák kapcsolatát, amelynek elméleti alapjait A. Wiles a Fermat egyenlet megoldása során dolgozta ki.
A függvényegyenletek és egyenlőtlenségek kb. 200 évre visszanyúló elméletének a kutatócsoport tagjai által jelenleg legaktívabban művelt területei az információelméleti, valószínűségszámítási, és közgazdaságtani hátterű többváltozós függvényegyenletek regularitás- és stabilitáselmélete, továbbá a különféle középérték osztályokkal kapcsolatos egyenlőségi, homogenitási és összehasonlítási problémák, valamint az ún. invariancia egyenletek vizsgálata. Az operátor- és függvényalgebrák egyes tulajdonságokat invariánsan hagyó leképezéseinek vizsgálata is interpretálható a függvényegyenletek kontextusában. Az itt elért eredményeknek kvantum tér- és információelméleti jelentése is lehetséges. A nemsima és a konvex analízis a múlt század hetvenes éveiben alakult ki olyan elméleti és alkalmazott matematikai problémák vizsgálatára, amelyekben az előforduló objektumok (függvények, halmazok) simaságának (differenciálhatóságának, érintőtere létezésének) a feltételezése nem adekvát. Az ilyen vizsgálatok szükségszerűen elvezetnek a deriváltfogalom általánosításaihoz. Az ezekkel az új fogalmakkal való kalkulus kiépítése és gyakorlati alkalmazásainak kidolgozása alapvető fontosságú, és ezért fontos kutatási területünk.

A kutatócsoport által elért eredmények döntő többségét rangos nemzetközi folyóiratokban, kisebb hányadát pedig referált konferencia kiadványokban angol nyelven fogjuk publikálni.