Diofantikus számelmélet és alkalmazásai

Vezető: 
Dr. Hajdu Lajos, DSc, habilitált egyetemi docens
Tagok: 
Dr. Bérczes Attila, PhD, habilitált egyetemi docens
Tagok: 
Dr. Tengely Szabolcs, PhD, egyetemi adjunktus

Diofantikus számelmélet és alkalmazásai
 
A diofantikus problémák kérdésköre a számelmélet egyik klasszikus, rengeteg világhírű kutató figyelmét magára vonó területe. A diofantikus egyenletek elméletében az alapkérdések a következők: megoldható-e az egyenlet; tudjuk-e korlátozni a megoldások számát; tudjuk-e korlátozni a megoldások méretét; meg tudjuk-e határozni az összes megoldást. Különböző típusú egyenletek esetén mind a négy kérdést rengetegen vizsgálták, számos mély eredmény és nagy hatású módszer született. A közelmúltban a területen, elsősorban az algebrai görbeelmélet ugrásszerű fejlődésének köszönhetően rendkívül jelentős, áttörő eredmények láttak napvilágot – elég, ha csupán a Wiles által a 90-es évek közepén megoldott, 350 éves Fermat-sejtést említjük. Emellett a rendkívül fontos egyenlet mellett az említett fejlődés, konkrétan az úgynevezett moduláris módszer valamint az explicit Chabauty-módszer megjelenése számos más probléma vizsgálatához is hatalmas lökést adott. Ezek a módszerek mind a négy fent említett kérdés esetén jelentős segítséget nyújthatnak. A diofantikus egyenletek területén jelenleg számos kutató azon fáradozik, hogy minél jobban feltérképezze az új eszköztár alkalmazhatóságát, annak a klasszikus módszerekkel való kombinálhatóságát, illetve az alkalmazási lehetőségeket minél szélesebb egyenletosztályokra kiterjessze. Emellett persze a korábbi módszerek további kiaknázása, illetve új hatékony eljárások kifejlesztése is folyamatosan zajlik. Végül érdemes megemlíteni, hogy a diofantikus számelmélet egyre több rendkívül fontos alkalmazást nyer, többek között például a kriptográfia területén.
 
A diofantikus számelmélet területén zajló kutatásokba kutatócsoportunk tagjai már korábban bekapcsolódtak több a nemzetközi érdeklődés homlokterében álló diofantikus egyenletosztály és probléma vizsgálatával. A jelen pályázatban tervezett kutatás több, egymáshoz számos ponton szervesen kapcsolódó irányban zajlik. A legfontosabb vizsgált területek az alábbiak:
  • Teljes hatványok számtani sorozatokban. A témakör irodalma igen gazdag, azzal többek között Fermat, Euler, Erdős Pál foglalkozott. Több debreceni kolléga (Győry, Hajdu, Pintér, Tengely) is nyert kapcsolódó mély eredményeket. A fenti új eszközök, módszerek segítségével a korábbi tételek több ponton való továbbvitelét tervezzük.
  • Vizsgálatok a diofantikus egyenletek effektív, ineffektív és explicit elméletében. Számos alapvető eredményhez kapcsolódva vizsgálatokat kívánunk folytatni több klasszikus egyenlettípus (Thue-, S-egység-, hiperelliptikus- és magasabb génuszú egyenletek) vonatkozásában. Egyrészt a megoldásszám illetve a megoldások korábbiaknál pontosabb korlátozását, másrészt bizonyos egyenletek teljes megoldását tervezzük.
  • Multiplikatív számelméleti eredmények és alkalmazásaik. Klasszikus eredményekhez kapcsolódva vizsgálatokat kívánunk végezni Pillai és Jacobsthal problémái kapcsán, egy adott intervallumban található számok prímtényezőinek eloszlására vonatkozóan. Az eredmények a teljes hatványokból álló számtani sorozatok témakörében fontos alkalmazásokhoz vezethetnek.
  • Rekurzív sorozatok. Korábbi fontos, ismert eredményekhez kapcsolódva vizsgálni kívánjuk rekurzív sorozatok különböző aritmetikai tulajdonságait. Többek között meg szeretnénk határozni a bizonyos rekurzív sorozatokban található különböző fontos kombinatorikus tulajdonságú számokat. Emellett a fent említett Pillai- és Jacobsthal probléma e területre való kiterjesztését is tervezzük.
  • Alkalmazások. Diofantikus számelméleti, illetve általánosabban diszkrét matematikai ismereteinket alkalmazni kívánjuk különböző problémákra, például a diszkrét tomográfia, a digitális képfeldolgozás és a kriptográfia területén.
 
Eredményeinket angol nyelvű cikkek formájában kívánjuk publikálni nemzetközileg magasan jegyzett szakfolyóiratokban. Ezen túlmenően eredményeinkből nemzetközi szakmai fórumokon (konferenciákon, workshopokon) előadásokat is tartunk.